Gracias por tu comentario, Gina. Saludos.

Hola, Gina:
Solo debe escribirse república con inicial mayúscula cuando es parte del nombre oficial de un país o cuando se refiere a un periodo histórico concreto. En el caso que mencionas, debería escribirse en minúscula.

Hola, Evelyn:
Como señala la Ortografía de la lengua española (OLE), se escriben con mayúscula inicial todas las palabras significativas que componen la denominación completa de entidades, instituciones, organismos, departamentos o divisiones administrativas, etc. Lo correcto es escribir Universidad de la República, por referirse a la institución de educación superior uruguaya.

Hola, Gloria:
El término “república” se escribe como norma general con minúscula, excepto cuando forma parte del nombre de un país (la República del Perú). Sobre la segunda consulta, la RAE recomienda escribir los símbolos patrios con minúscula, porque son nombres comunes.